高中数学基础知识：不等式

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【知识点】

一、不等式的基本性质

1.特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 

2.注意课本上的几个性质，另外需要特别注意: 　　

①若ab>0，则。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 　　

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。 　　

③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象)，直接比较大小。 　　

④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 　　

二、均值不等式

两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 　　

基本应用:①放缩，变形; ②求函数最值:

注意:①一正二定三相等;②积定和最小，和定积。 　　

常用的方法为:拆、凑、平方; 　　

三、证明不等式常用方法　　

1.比较法:作差比较

作差比较的步骤: 　　

（1）作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 　　

（2）变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 　

（3）判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 　　

注意:若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 　　

2.综合法:由因导果。 　　

3.分析法:执果索因。基本步骤:要证……只需证……，只需证…… 　　

4.反证法:正难则反。 　　

5.放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 　　

放缩法的方法有: （1）添加或舍去一些项，（2）将分子或分母放大(或缩小) （3）利用基本不等式， 　　

6.换元法:换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。 　　

7.构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 　　

四、不等式的解法　　

1.一元二次不等式:一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注:要对进行讨论: 　　

2.绝对值不等式

注意:（1）解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，

去绝对值的方法有:

①对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值; 

②通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。

③含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 

④分式不等式的解法:通解变形为整式不等式; 

⑤不等式组的解法:分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。 　　

⑥解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.

遇到下述情况则一般需要讨论: 　　

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性. 　　

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论. 　　

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数，要讨论。

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