高中数学基础知识：二次函数

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【知识点】

一、基本定义

一般地，把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。顶点坐标[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]交点式为y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]

注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。

二、函数性质

1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）[1]

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数:Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。当Δ= b²-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b²－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变;

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)。

三、函数表达

1.一般式

y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b²)/4a]

把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

2.顶点式

y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

3.交点式

y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .

4.双根式

y=a(x-x1)*(x-x2)

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