高中数学基础知识：最大公因数

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【知识点】

一、基本介绍

最大公约数，指某几个整数共有因子中最大的一个。

能够整除一个整数的整数称为其的约数（如5是10约数）；

能够被一个整数整除的整数称为其的倍数（如10是5的倍数）；

如果一个数既是数A的约数，又是数B的约数，称为A,B的公约数，A,B的公约数中最大的一个（可以包括AB自身）称为AB的最大公约数。

二、定义

如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。

辗转相除法是古希腊求两个正整数的最大公约数的，也叫欧几里德算法，其方法是用较大的数除以较小的数，上面较小的除数和得出的余数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到出现能够整除的两个数，其中较小的数（即除数）就是最大公约数。

三、性质

1.交换律：

gcd(a,b)=gcd(b,a) （交换律）

gcd(-a,b)=gcd(a,b)

gcd(a,a)=|a|

gcd(a,0)=|a|

gcd(a,1)=1

gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)

gcd(a,b)=gcd(b, a-b)

2.分配律：

如果有附加的一个自然数m,则: gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b) (分配律)

gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)

如果m是a和b的最大公约数，则： gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m

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